Probability Theory and Examples (Fifth Edition) - Rick Durrett (англ.мова)

Probability Theory and Examples (Fifth Edition) Ріка Дарретта - це один із найавторитетніших академічних підручників з теорії ймовірностей, широко використовуваний у провідних університетах світу. Книга пропонує систематичний виклад фундаментальних результатів теорії ймовірностей з акцентом на приклади, задачі та практичне застосування.

У виданні охоплено закони великих чисел, центральну граничну теорему, мартингали, ланцюги Маркова, ергодичні теореми, випадкові блукання та броунівський рух. Автор дотримується філософії навчання через приклади - у книзі понад 200 прикладів та близько 450 задач різного рівня складності.

П’яте видання оновлене з урахуванням сучасних потреб математичної статистики, стохастичних процесів, фінансової математики та прикладних наук. Підручник призначений для студентів старших курсів, аспірантів, дослідників та практиків, які прагнуть глибокого і строгого розуміння ймовірнісних методів.

TABLE OF CONTENTS

Preface

1. Measure Theory

1.1 Probability Spaces
1.2 Distributions
1.3 Random Variables
1.4 Integration
1.5 Properties of the Integral
1.6 Expected Value
 1.6.1 Inequalities
 1.6.2 Integration to the Limit
 1.6.3 Computing Expected Values
1.7 Product Measures, Fubini’s Theorem

2. Laws of Large Numbers

2.1 Independence
 2.1.1 Sufficient Conditions for Independence
 2.1.2 Independence, Distribution, and Expectation
 2.1.3 Sums of Independent Random Variables
 2.1.4 Constructing Independent Random Variables
2.2 Weak Laws of Large Numbers
 2.2.1 L² Weak Laws
 2.2.2 Triangular Arrays
 2.2.3 Truncation
2.3 Borel-Cantelli Lemmas
2.4 Strong Law of Large Numbers
2.5 Convergence of Random Series*
 2.5.1 Rates of Convergence
 2.5.2 Infinite Mean
2.6 Renewal Theory*
2.7 Large Deviations*

3. Central Limit Theorems

3.1 The De Moivre-Laplace Theorem
3.2 Weak Convergence
 3.2.1 Examples
 3.2.2 Theory
3.3 Characteristic Functions
 3.3.1 Definition, Inversion Formula
 3.3.2 Weak Convergence
 3.3.3 Moments and Derivatives
 3.3.4 Polya’s Criterion*
 3.3.5 The Moment Problem*
3.4 Central Limit Theorems
 3.4.1 i.i.d. Sequences
 3.4.2 Triangular Arrays
 3.4.3 Prime Divisors (Erdos-Kac)*
 3.4.4 Rates of Convergence (Berry-Esseen)*
3.5 Local Limit Theorems*
3.6 Poisson Convergence
 3.6.1 The Basic Limit Theorem
 3.6.2 Two Examples with Dependence
3.7 Poisson Processes
 3.7.1 Compound Poisson Processes
 3.7.2 Thinning
 3.7.3 Conditioning
3.8 Stable Laws*
3.9 Infinitely Divisible Distributions*
3.10 Limit Theorems in Rᵈ

4. Martingales

4.1 Conditional Expectation
 4.1.1 Examples
 4.1.2 Properties
 4.1.3 Regular Conditional Probabilities*
4.2 Martingales, Almost Sure Convergence
4.3 Examples
 4.3.1 Bounded Increments
 4.3.2 Polya’s Urn Scheme
 4.3.3 Radon-Nikodym Derivatives
 4.3.4 Branching Processes
4.4 Doob’s Inequality, Convergence in Lᵖ, p > 1
4.5 Square Integrable Martingales*
4.6 Uniform Integrability, Convergence in L¹
4.7 Backwards Martingales
4.8 Optional Stopping Theorems
 4.8.1 Applications to Random Walks
4.9 Combinatorics of Simple Random Walk*

5. Markov Chains

5.1 Examples
5.2 Construction, Markov Properties
5.3 Recurrence and Transience
5.4 Recurrence of Random Walks*
5.5 Stationary Measures
5.6 Asymptotic Behavior
5.7 Periodicity, Tail σ-Field*
5.8 General State Space*
 5.8.1 Recurrence and Transience
 5.8.2 Stationary Measures
 5.8.3 Convergence Theorem
 5.8.4 GI/G/1 Queue

6. Ergodic Theorems

6.1 Definitions and Examples
6.2 Birkhoff’s Ergodic Theorem
6.3 Recurrence
6.4 A Subadditive Ergodic Theorem
6.5 Applications

7. Brownian Motion

7.1 Definition and Construction
7.2 Markov Property, Blumenthal’s 0-1 Law
7.3 Stopping Times, Strong Markov Property
7.4 Path Properties
 7.4.1 Zeros of Brownian Motion
 7.4.2 Hitting Times
7.5 Martingales
7.6 Ito’s Formula*

8. Applications to Random Walk

8.1 Donsker’s Theorem
8.2 CLTs for Martingales
8.3 CLTs for Stationary Sequences
 8.3.1 Mixing Properties
8.4 Empirical Distributions, Brownian Bridge
8.5 Laws of the Iterated Logarithm

9. Multidimensional Brownian Motion

9.1 Martingales
9.2 Heat Equation
9.3 Inhomogeneous Heat Equation
9.4 Feynman-Kac Formula
9.5 Dirichlet Problem
 9.5.1 Exit Distributions
9.6 Green’s Functions and Potential Kernels
9.7 Poisson’s Equation
 9.7.1 Occupation Times
9.8 Schrodinger Equation

Appendix A. Measure Theory Details
A.1 Caratheodory’s Extension Theorem
A.2 Which Sets Are Measurable?
A.3 Kolmogorov’s Extension Theorem
A.4 Radon-Nikodym Theorem
A.5 Differentiating under the Integral

References