Global Calculus (Vol.65) - S.Ramanan (англ.мова)

Global Calculus С. Раманана - це фундаментальний підручник з глобального аналізу, орієнтований на магістерський та початковий аспірантський рівень. Книга послідовно поєднує диференціальну геометрію, теорію пучків, когомологію та еліптичні диференціальні оператори в єдину концептуальну рамку. Автор подає матеріал у сучасній формі, починаючи з пучків і диференціальних многовидів та поступово переходячи до зв'язностей, кривини, теорії де Рама, операторів Соболєва, перетворень Фур'є та теорем зникання.

Особливу увагу приділено когомології пучків і її застосуванням у глобальному аналізі та геометрії, включно з теоріями Ходжа та Кодайри. Матеріал викладено строго, але з великою кількістю прикладів і вправ, що робить книгу придатною як для самостійного вивчення, так і для університетських курсів.

Книга є еталонним джерелом для студентів та дослідників, які прагнуть глибокого розуміння взаємодії аналізу, топології та геометрії.

Table of Contents 

Preface

Chapter 1. Sheaves and Differential Manifolds: Definitions and Examples

1. Sheaves and Presheaves

2. Basic Constructions

3. Differential Manifolds

4. Lie Groups; Action on a Manifold
   Exercises

Chapter 2. Differential Operators

1. First Order Differential Operators

2. Locally Free Sheaves and Vector Bundles

3. Flow of a Vector Field

4. Theorem of Frobenius

5. Tensor Fields; Lie Derivative

6. The Exterior Derivative; de Rham Complex

7. Differential Operators of Higher Order
   Exercises

Chapter 3. Integration on Differential Manifolds

1. Integration on a Manifold

2. Sheaf of Densities

3. Adjoints of Differential Operators
   Exercises

Chapter 4. Cohomology of Sheaves and Applications

1. Injective Sheaves

2. Sheaf Cohomology

3. Cohomology through Other Resolutions

4. Singular and Sheaf Cohomologies

5. Čech and Sheaf Cohomologies

6. Differentiable Simplices; de Rham’s Theorem
   Exercises

Chapter 5. Connections on Principal and Vector Bundles; Lifting Symbols

1. Connections in a Vector Bundle

2. The Space of All Connections on a Bundle

3. Principal Bundles

4. Connections on Principal Bundles

5. Curvature

6. Chern-Weil Theory

7. Holonomy Group; Ambrose-Singer Theorem
   Exercises

Chapter 6. Linear Connections

1. Linear Connections

2. Lifting of Symbols and Torsion
   Exercises

Chapter 7. Manifolds with Additional Structures

1. Reduction of the Structure Group

2. Torsion Free G-Connections

3. Complex Manifolds

4. The Outer Gauge Group

5. Riemannian Geometry

6. Riemannian Curvature Tensor

7. Ricci, Scalar and Weyl Curvature Tensors

8. Clifford Structures and the Dirac Operator

Chapter 8. Local Analysis of Elliptic Operators

1. Regularisation

2. A Characterisation of Densities

3. Schwartz Space of Functions and Densities

4. Fourier Transforms

5. Distributions

6. Theorem of Sobolev

7. Interior Regularity of Elliptic Solutions

Chapter 9. Vanishing Theorems and Applications

1. Elliptic Operators on Differential Manifolds

2. Elliptic Complexes

3. Composition Formula

4. A Vanishing Theorem

5. Hodge Decomposition

6. Lefschetz Decomposition

7. Kodaira’s Vanishing Theorem

8. The Imbedding Theorem

Appendix

1. Algebra

2. Topology

3. Analysis